請教圍棋高手

西洋棋盤，把棋盤上的格子塗成黑白相間，
問： 黑格子跟白格子是不是一樣多？」，

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教數學要打開孩子的眼界

【數學想想】
http://iwebs.url.com.tw/main/html/hef/643.shtml
文/口述／史英　整理／翁婉玲
「學得會」與「想要學」應該相輔相成
最近有一些學者，對於要把數學的教學目標定成「學得會」還是「想要學」，引起了兩派不同的爭議。如果把目標定為80%的學生要學得會，就會擔心程度要降得很低；而想要學的意思是，不管他們能不能學會，只要有學習的動機，教學就算成功了。
其實影響一個教學成果的因素有很多，內容當然是其中之一，教得太難的話，成果不好，學生會跟不上。另外一方面，不管內容難或不難，用什麼方式呈現，也是一個重要因素；如果呈現得好，難的東西可以變得比較簡單。如果很會教，深入淺出，可以把無趣的東西教得很有趣。
台灣教育界長期都把教學方法和教材當成不變的因素，沒有人管，把最重要的變因當作不變，這樣考慮是有盲點的。
「學得會」和「想要學」並非不可兼得，應該是個相輔相成的事情。事實上如果大多數人都一直學不會，他也不可能想要學。另外一方面，不管學不學得會，每個學生都應該能夠在學習的過程裡培養學習的興趣；效果怎樣先不管，總要培養他持續想學，對這個東西有興趣，這樣即使今天學不會，將來也還可以慢慢學。
不只教定義，還可以教思考
拿奇數和偶數的例子來說，很多人會覺得，如果希望全班大部分的學生都能學會，就只要教怎麼判斷：個位數如果是0、2、4、6、8，就是偶數，是1、3、5、7、9，就是奇數。
這樣教，雖然讓多數學生都學會了，可是學得快的學生就會覺得好像沒教什麼。所以我們應該想深一點，學會這個要幹什麼？如果只教最基本的，也許今天教明天考，全班的人大部分都會，因為很簡單；可是因為無趣，沒有什麼意義，所以這個簡單的東西兩個月後考，他們恐怕就不一定會了。即使兩個月後考，他們都還記得什麼是奇數、什麼是偶數，那又如何？我們讓學生記得這個名詞，到底要做什麼？教學裡如果不談論分類的意義的話，即使80%的人都學會了，也沒有什麼意思。
所以教奇數偶數，起碼要能呈現兩個方向的思考。一個是把所有的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10排成一列，奇偶是跳一個跳一個過去，是線性的思考；另外一方面，我們可以把他們兩個兩個配對，2拉到1下面，4拉到3下面，一對一對，這樣排起來就是另一種景象。這兩種不同的思考模式，得到的哪個是奇數哪個是偶數的結果是一樣的；不同的路線得到同樣的分類，會讓小孩子覺得驚奇，好玩，意想不到。小孩其實有很強烈的好奇心，教學就是要能把他們的好奇心引發出來。
再舉一個例子：「你給小孩一個 西洋棋盤，把棋盤上的格子塗成黑白相間，問：黑格子跟白格子是不是一樣多？」， 大部分小孩會回答一樣多，因為是相間的。可是仔細一數，其實並不盡然；如果是5╳5的棋盤，總共25格，25是奇數，奇數無論如何沒辦法分成兩個相等的整數。所以25個格子一半填黑的，一半填白的，黑白不可能相等。這就是奇數和偶數最重要的觀念之一。
看「個位數」判斷奇偶，和「幾進位」有關
再進一步引申，看個位數來判斷奇偶的方法，也有它弔詭的地方。因為我們是用10進位，10本身是偶數，22看到後面個位的2，2也是個偶數，所以22一定也是偶數。這涉及到偶數加偶數一定是偶數的問題，如果換成三進位的話，就不一定。
三進位其實並不難，主要看怎麼教；如果教得四平八穩，很像數學家的樣子，就沒有人想學了，因此也學不會。如果製造一個玩偶，總共只有一隻手，手上只有三個指頭，就像我們只有十個手指頭一樣，這個玩偶如果要記數的話，數到三就應該要進位，因為算不下去了，在旁邊記個1，代表已經數了一隻手；就像我們記12前面的1一樣，代表十個指頭。很容易類比，小孩很快就可以學會三進位。當然數字不能太大，限定在三進位的兩位數，譬如12，代表一個3和一個2，小孩很容易就可以理解。一個3和一個2加起來是5，5是個奇數耶！可是12的個位數是2，如果這樣就以為是偶數，那就錯了。這樣一對比，小孩會突然警覺，原來奇偶數裡充滿玄機，世界非常奧妙；這才是我們教學應有的哲學和理想。爭論什麼「學得會」、「想要學」就陷入教材和教法完全被忽略的死胡同去了。
給小孩一些有挑戰性的問題，小孩子可以嘗試去用各種方法去解決，帶領的老師再稍微鼓勵，運用團體的討論讓孩子發表各自的主張和意見，這樣子的教學，就加深了材料的深度，同時彰顯了趣味性彰顯。同時，這樣教學生不一定會太難，原來的教學只給個定義，給個名詞，孩子也不一定就學得會。
我們當然要教小孩「個位數是偶數就是偶數」這個狀況，但這個規則很教條。所以教學可以先試著打破教條—可以讓孩子覺得「天下事情未必如此吧？」再去思考，就會發覺這跟十進位有關。既然跟十進位有關，老師就可以提出「三進位」來做對比，讓孩子體會其中的差異。
所以這種思考路線，是很自然的發展，並不是故意要教有學問的東西。教學創新，並不一定要教得很難很深，而是要教得有意義、有趣、有啟發性，能夠打開小孩的眼界，能這樣做，即使小孩一時學不會也沒關係，他心裡總會埋下種子。
現在教育上最大的缺失，就是考試太多。剛教了一課，就要評量孩子學會沒有，這是有問題的。黃武雄教授曾說，教小孩就像釀酒，不能常常打開來看。我們的教學者因為心急，常常都要打開瓶子看酒釀好沒，結果沒有一瓶酒可以釀得好。
所以，應該要給小孩子更長的時間，同一個概念，二年級教過，三年級再教一回；三年級教過，五年級變個花樣再教一回。同一個概念由不同的切入點帶領學生，把理解的時間拉長以後，讓孩子可以自己去反芻、去發展自己的思考。
　　　　　　　　
編按：本文取自教育廣播電台《教育新航線》節目，由森林小學校長朱台翔主持。每個星期二「九年一貫十大能力」單元，均特別邀請教育部九年一貫推動小組成員史英教授，和大家談談九年一貫的主軸精神。
相關內容：可參閱《數學想想》



( 2003.01.20 )